Osiem ścian, trzy dziury i żadnej intuicji - matematyk opisał bryłę niemożliwą

Osiem ścian w jednej figurze to niby niewiele, ale w tym przypadku każda z nich graniczy z wszystkimi pozostałymi siedmioma. Taki warunek zwykle uznaje się za niewykonalny w przestrzeni trójwymiarowej. Mimo to niezależny badacz Ruslan Mizhaev zaprezentował działający model takiej konstrukcji - ma on 24 wierzchołki, 36 krawędzi i trzy otwory przechodzące na wylot. Co istotne, współrzędne wszystkich wierzchołków to zwykłe liczby całkowite.

Opis całej pracy trafił na serwer arXiv, a jako pierwszy szerzej rozpisał się o niej New Scientist.

Liczba osiem ścian sama w sobie nie zaskakuje - ośmiościan to w końcu figura dobrze znana z podręczników geometrii. Tutaj jednak mówimy o zupełnie innej strukturze. W modelu Mizhaeva każda ściana to dziewięciokąt, a każda z nich dzieli krawędź z każdą inną spośród pozostałych siedmiu.

To właśnie ta cecha stanowi o niezwykłości obiektu. Nie jest to zwykła wypukła forma przypominająca sześcian albo stożek. Jego powierzchnia jest poprzerywana otworami i zagina się w taki sposób, że pomiędzy jej fragmentami wytwarzają się trzy tunele.

Każda para ścian ma wspólną krawędź: 20 par ma jedną krawędź, a 8 par dwie. Dokładna weryfikacja potwierdza, że wszystkie ściany są płaskie, powierzchnia jest domknięta i orientowalna, nie występują żadne niezamierzone przecięcia.

z pracy opublikowanej na arXiv

W ujęciu matematycznym mówimy o wielościanie rodzaju 3. Dla topologii znaczy to, że powierzchnia ma trzy uchwyty, czyli trzy przebijające ją na wylot otwory. Dobrym obrazowym porównaniem jest pączek - standardowy obwarzanek ma tylko jeden taki tunel, czyli jest powierzchnią rodzaju 1. Tutaj mamy ich trzykrotnie więcej.

Jest jeszcze jeden element, który wyróżnia tę konstrukcję. Wszystkie osiem ścian sąsiadują parami ze sobą. W 20 przypadkach para ścian ma dokładnie jedną wspólną krawędź, a w ośmiu przypadkach ściany łączą się nawet dwiema krawędziami.

To nie jest tylko abstrakcyjny rysunek

Przy takich konstrukcjach najtrudniejsze nie jest wymyślenie zasad opisujących wzajemne połączenia elementów. Prawdziwym wyzwaniem jest przekształcenie tych zasad w realny obiekt istniejący w trzech wymiarach.

Łatwo zapisać zasadę, że dana krawędź łączy dwa określone wierzchołki albo że dana ściana powinna sąsiadować z inną. Kłopoty zaczynają się, kiedy trzeba przypisać każdemu punktowi konkretne położenie w przestrzeni. Może się wtedy okazać, że dwie ściany przecinają się w miejscu, gdzie nie powinny, albo że jeden z wielokątów wcale nie jest płaski.

Mizhaev poradził sobie z tym problemem. Każdemu z 24 wierzchołków przypisał współrzędne będące liczbami całkowitymi. Dodatkowo podał równania płaszczyzn, na których leżą poszczególne dziewięciokąty, a także precyzyjny schemat połączeń między wierzchołkami.

Taki zapis pozwala matematycznie sprawdzić, że wszystkie ściany są płaskie, powierzchnia jest zamknięta, a niechciane przecięcia się nie pojawiają. Bryła posiada również symetrię obrotową typu C4.

ChatGPT pomógł, ale nie wymyślił tej bryły

Przy pracy nad najnowszą wersją konstrukcji pojawiło się narzędzie, które dobrze oddaje charakter obecnych czasów. Mizhaev sięgnął po ChatGPT, między innymi do przeprowadzenia części obliczeń kontrolnych oraz do napisania skryptów w Pythonie.

To nie znaczy, że sztuczna inteligencja jest autorem tego odkrycia. Pierwotna wersja bryły powstała jeszcze w 2020 roku, czyli zanim badacz zaczął korzystać z ChatGPT. Model językowy został wykorzystany później, jako wsparcie przy weryfikacji i automatyzacji niektórych obliczeń.

To dobrze ilustruje, gdzie naprawdę leży trudność w tego typu zagadnieniach. Komputer jest w stanie w ułamku sekundy przeliczyć tysiące zależności, ale wcześniej trzeba precyzyjnie zdefiniować, czego się właściwie szuka.

Bryła, która wymyka się intuicji

Sens tego odkrycia nie polega na tym, że powstała nowa figura, która trafi do zestawów klocków dla dzieci. To przede wszystkim ciekawe zagadnienie leżące na styku geometrii, topologii i teorii grafów.

Topologia bada te właściwości obiektów, które nie zmieniają się podczas rozciągania czy wyginania. Dla topologa kula zostaje kulą nawet po deformacji, a pączek wciąż ma jeden otwór, niezależnie od tego, jak go pogniemy. W przypadku bryły Mizhaeva kluczowe znaczenie ma to, że jej powierzchnia odpowiada rodzajowi 3.

Takie zagadnienia pokazują też, jak ogromna bywa różnica między teoretycznym opisem struktury matematycznej a jej rzeczywistą realizacją. Dużo łatwiej jest określić, które elementy powinny się łączyć, niż wyznaczyć konkretne współrzędne wszystkich punktów tak, aby cała konstrukcja dała się fizycznie umieścić w przestrzeni bez żadnych zabronionych przecięć.

tego rodzaju konstrukcje są trudne właśnie dlatego, że nie istnieje prosty, uniwersalny sposób ich znajdowania

Lars Schewe, University of Edinburgh, dla New Scientist

Jak dodaje Lars Schewe, w poszukiwaniu takich obiektów można próbować rozwiązywać rozległe układy równań, prowadzić poszukiwania przy pomocy komputerów albo opierać się na geometrycznej intuicji. Nowa realizacja nie zamyka więc całego problemu, lecz dodaje kolejny konkretny element do większej matematycznej układanki.

I właśnie z tego powodu ta na pierwszy rzut oka dziwaczna bryła okazuje się ciekawsza, niż mogłoby się wydawać. Osiem ścian, 24 wierzchołki, 36 krawędzi i trzy otwory wystarczyły, by postawić problem, przed którym intuicyjna geometria zupełnie się poddaje.